正交矩阵定义和性质

正交矩阵是指矩阵的转置和其逆矩阵相等的矩阵。在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

正交矩阵的性质

1、对于任意的两个向量x和y，都有x^Ty=0，即x和y是正交的。

2、对于任意的向量x，都有x^TAx=x^Tx，即矩阵A不会改变向量的长度。

3、矩阵A的行向量和列向量都是单位向量。

正交矩阵的定理

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组;

方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;

A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量;

A的列向量组也是正交单位向量组。

正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。